洛伦兹因子(相对论因子)在光速条件下的有限解——推导过程

在理论物理学中,洛伦兹因子又称相对论因子。它是以1902年诺贝尔奖得主、荷兰物理学家亨德里克·安托·洛伦兹的名字命名的。洛伦兹和彼得·泽曼一起发现并从理论上解释了泽曼效应。洛伦兹还推导出了最终在爱因斯坦的狭义相对论(1905年)中扮演重要角色的变换方程。这篇文章是关于后者的成就。

狭义相对论中洛伦兹因子的存在,在估计相对论的质量、能量、动量和时间膨胀时带来了巨大的困难,因为速度趋向于真空中的光速。尤其是,随着平方速比v/c趋向于1时,数学上的奇点变得不可避免。当所研究的物体的速度v与真空中的光的速度相比太低时,这也成为一个挑战。结果,物理学家总是通过采用以下形式的二项式近似来解决它:

从式(1)可以看出,在(真空中)光速(v)恒定的情况下,c的计算结果是无穷大。这使得相对论和量子力学的操作(关于洛伦兹因子),例如长度收缩、质量、能量、动量和时间膨胀,都有很大的问题。这也是保罗·狄拉克提出相对论量子力学时的一个原则。然而,需要考虑的最明显的例子是相对论的质量-能量-动量方程,它支撑着爱因斯坦提出的狭义相对论,其表述如下:

一个迫在眉睫的问题是,当v =c时(3)到底会发生什么?也许从下边界v=0开始更有意义。物体不是在运动,因此相对质量等于静止质量,动能和动量都等于零。然而,当物体获得速度时,这三个量就会随着位置和时间的变化而分布,从静止到经典极限,直到量子特性开始发挥作用。我们将试着找出这个系统的一个有限解。

代替二项式近似,如果我们引入一个重正化参数——称之为j。重正化是量子场理论中用来处理从计算量中产生的无限大的一种技术,否则将导致无意义的(无限的)结果。因此,我们将平方速比作为这个j的函数,这样:

我们将阐述更多j是什么,但现在它只是足以知道j值为3,比率v/ c= 1,这就是最大的价值。公式(4)中的定理对该范围内的所有值都成立,只要我们记住理论极限,即真空中的光速c,就有意义。快速测试可以在-8、-15、-24、-35等等处执行。

假设Eq.(4)的数学问题已经解决,我们假设重正化参数j的物理含义是什么?结果是特定的,也就是说,它取决于粒子所在的区域和速度。例如,我们可以将氢原子中的电子j定义为:

式中:n为电子层数,或能级,也称主量子数。参数α1/137.06称为精细结构常数,是在处理基本粒子时经常出现的无量纲数。这个假设可以用n=1来测试,对于氢原子的基态电子,你会发现一个对应的j值,最重要的是,在那个电子层中电子的确切速度大约是v = 2187308.1716 m/s。

为了检验Eq.(6)的有效性,你还需要代入速度v的任何已知值,并估计j,然后用它来计算氢原子中电子的能级。从前面解释的例子中可以看出,当v = c时,j必须减小到最小值-3。

为了成功地应用派生的重正化,需要注意的是,式(4)的分母同时取负值和正值。也就是说,我们在所有的情况下都采用前者,使得速度总是由以下函数返回:

将Eq.(7)代回Eq.(3)中的任何质量-能量-动量项,有效地消除了奇异点。以能量方程为例,得到如下形式:

其中Zα是一个小的非整数的数,而狄拉克方程的原理量子数Eq.(10)所描述的线性关系n = n+κ。其中n是指定半径处的量子数r,并且κ是一个非零整数,由以下关系式给出:

注:Eq.(9-10)中的符号j与Eq.(4-9)中的符号不同。因此,这是严格特定于狄拉克的公式。

注意式(9)和式(10)之间的相似性,特别是RHS分母平方根下的第二项。基于这一观察,我们可以得出以下结论:

我们推导了洛伦兹因子的一个简化有限解。这里的关键要点是,平方速度比通常在处理洛伦兹变换方程时会面临挑战(出现奇点),具有有限的解,可以利用它来执行相对论量子力学计算,例如:时间膨胀,长度收缩,质量,能量,并估算粒子动量。不管狄拉克方程是什么,它仍然为氢原子提供了一种精确的方法。因此,值得注意的是,这并不是狄拉克方程的完全替代,而是一种补充,因为即使精确地预测速度,它也不能预测其他估计,例如量子“自旋”效应。