深度科普:带你优雅地推导洛伦兹变换(完整版)

推导洛伦兹变换并不需要非常高深的数学知识,请相信自己,你可以理解这个推导过程。

不过有很多人宣称自己懂狭义相对论,但是他们根本就没见过完整的洛伦兹变换,而且他们知道的那点残缺的洛伦兹变换还是以一种极为丑陋的形式表达的。

同样是从光速入手,为光速建立不同的物理图景会让物理公式的推导过程有着云泥之别。

有很多资料会提到光速不随光源的运动而改变,但这纯粹就是一句废话,根本就没抓住重点。毕竟,声速也不随声源的运动而改变。

想要理解光速的特殊之处,就需要把光速与声速作比较。说得再全面一点,就是把光波与声波作比较。

请大家注意,要为“波”建立一个正确的物理图景,波通常都是球面波,向四面八方传播。光波如此,声波也如此。

所谓球面波,就是指波源在同一时间发出的波,都分布在一个球面上。随着时间的推移,这个球面的半径会越来越大。

可以把这个球面称为波面,波面随着时间推移而扩张,波面向各个方向扩张的速度就是波速。

如果波源静止,观察者也静止,那么波面向各个方向扩张的速度都是相同的,也就是说观察者测量到的各个方向的波速都是相同的。

对于声波,观测者会更早地接收到向它传播的声波,所以他测量到的各个方向的声速不再相同。

这就要求不同的参考系之间的变换遵循着某种规则,这种规则就是洛伦兹变换,它可以让“球”依然是“球”。

而球面上的点有一个性质,它们到球心的距离都相同。在坐标系中,它们到坐标原点的距离都相同(这个距离可以用勾股定理计算)。

如果球面的半径是R,那么就可以用一个公式描述球面上的所有点,这也就描述了整个球面。

光波波面上的每个点都可以用一组坐标(x,y,z,t)来表示。每个坐标系都是在特定的参考系中建立的,如果参考系改变,那么坐标系也会跟着改变,光波波面上的点的坐标也都会改变。

旧的坐标和新的坐标之间有一个明确的关系,这个关系就是不同坐标系之间的变换规则,也就是不同参考系之间的变换规则。

在纯粹的数学中,这种变换规则可以随意选择;但是在现实中,只有一种变换规则是可以实现的,那就是可以保证“无论参考系怎样改变,光波的波面始终是向各个方向均匀扩张的球面。”的变换规则,这种变换规则就是洛伦兹变换,让“球”依然是“球”的变换。

上面这两个公式就是“无论参考系怎样改变,光波的波面始终是向各个方向均匀扩张的球面。”的数学版本。

请牢记上面加粗这一句话,它已经在本文中出现了三次;也请牢记上面的两个公式,洛伦兹变换的奥秘就隐藏在其中。

一旦参考系改变,坐标系也会跟着改变,光波波面上某一点的4个坐标(x,y,z,t)也都可以改变,但是光波的波面方程却不变,这就需要我们洞察“变化之中的不变”。

至少要同时改变2个坐标,让它们的变化“相互抵消”,才有可能使光波的波面方程不变。

在4个坐标中任取2个坐标,通过一些恰到好处的参考系变换,就可以只让这2个坐标在参考系改变时发生变化,这将会大大简化问题。而且,4个坐标都变化时,也可以认为是多次进行 2个坐标的变换的结果!

同一个圆在两个不同的坐标系中的样子都是一样的,那么这两个坐标系之间的变换规则是什么?

找到圆上某一点的新坐标和旧坐标之间的关系,就找到了具体的变换规则(也就是洛伦兹变换的一部分内容)。

(你会喜欢用矩阵表达洛伦兹变换的,它非常清晰、简洁,这才是优雅的表达。)

这里的3个变换就是在描述那个“尺缩效应”和“尺伸效应”。(同时也是想暗示大家,经常被传得神乎其神的“钟慢尺缩”也只是一种测量的错觉。)

虽然这一组变换看起来没那么“高大上”,实际上也只是简单的空间转动,但它们却是洛伦兹变换不可缺少的一部分。

没有空间转动的洛伦兹变换是不完整的,至于这种“不完整”到底对洛伦兹变换有多大的影响,本文的最后会给出答案。

依葫芦画瓢,参考系的变换只让光波波面上的点的1个空间坐标和1个时间坐标发生了变化。

情况有些不妙,绕坐标原点转动坐标系不能让双曲线在坐标中的位置不变,注意,这里和圆不一样,如果是圆,把坐标系绕坐标原点转动任意角度,圆在坐标中的位置都不变,但是双曲线不行。

可以把这个变换称为:洛伦兹推进(Lorentz boost),也可以称其为:伪转动、赝转动、双曲转动。

为了寻找物理意义,我们只需要知道上面的“洛伦兹推进”只是告诉我们正确的变换公式应该有这样的形式:

所以“洛伦兹推进”中暗含的有物理意义的量应该是不同参考系之间的相对速度。当参考系的相对运动速度v远远小于光速c时,这两个公式是相同的:

不过这已经很接近正确的变换了,只是让“球”的尺寸变化了,只要在变换公式中乘一个表示尺寸变化的因子,就可以得到正确的变换:

这其实就是经常在各种教科书、科普作品中出现的那种“洛伦兹变换”,你之前经常见到的“洛伦兹变换”其实只是“洛伦兹推进”。

相应的,也可以得到3个“洛伦兹推进”,分别表示参考系在x轴、y轴、z轴方向的运动。

只有“洛伦兹推进”的洛伦兹变换也是不完整的,至于这种“不完整”到底对洛伦兹变换有多大的影响,即将揭晓答案。

以下内容过于复杂,笔者也说得过于简略,大家读完之后,能从“不知道自己不知道”达到“知道自己不知道”就可以了。

洛伦兹群是一个广义正交群,含有6个群生成元,也就是上面总结的6个变换,洛伦兹群中的所有元素都可以由这6个生成元衍生出来。它们是保持闵氏时空原点不变的所有等距变换构成的群。

群论是描述对称性的语言,狭义相对论是物理规律的对称性的产物,了解了洛伦兹群(至少要知道有洛伦兹群这么个概念)才算是真的对狭义相对论有了一些了解。