你看见蝴蝶翅膀上的数学公式了吗?

数学中最有诗意的定理莫过于蝴蝶效应了。美国气象学家洛伦兹1963年在一篇论文中分析了这个效应。最常见的阐述是“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动,导致其身边的空气系统发生变化,并产生微弱的气流,而微弱气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化,由此引起一个连锁反应,最终导致其他系统的极大变化。他称混沌学。用MATLAB绘制洛伦兹模型的状态方程如下图:

可以发现图像是混沌的,而且十分像一只张开双翅的蝴蝶。因此笔者以蝴蝶为素材,从代数,分析,几何以及概率中各挑选了一个公式作为代表融合起来设计。话不多说,直接上图:

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。该不等式有多种形式。

令D是平面上有界凸区域。D的两条切线通过D外每点P(x,y)。令t_1与t_2是线段长,此线段由P与切点确定,令A是各线段间的角,被看作(x,y)的函数,则

令{x_n}与{y_n}是两个实数数列,{y_n}时严格正的,递增的,无界的。若